Was ist eine Nullstelle und wie bestimme ich sie?

Als „Nullstelle“ bezeichnet man die Stelle in einem Graphen bzw. Koordinatensystem, bei der eine Funktion (typischerweise abgekürzt mit „f“) einen Graphen auf dessen X Achse schneidet oder wenigstens berührt. Je nach Art der Funktion (linear, quadratisch, kubisch usw.) kann eine Funktion eine oder bis zu mehrere Nullstellen haben – die X-Achse also mehrfach schneiden. Das hängt davon ab, wie die Funktion verläuft, wenn sie grafisch dargestellt wird. Eine lineare Funktion, die linear verläuft und somit (grafisch dargestellt) einem Strich entspricht, kann den die X-Achse eines Graphen maximal nur einmal kreuzen und somit maximal auch nur eine Nullstelle haben. Eine quadratische Funktion hingegen, die grafisch dargestellt einen Kurvenverlauf mit Scheitelpunkt aufweist, kann die X-Achse eines Graphen bis zu zweimal kreuzen – und somit bis zu zwei Nullstellen aufweisen. Die Betonung liegt auf KANN kreuzen. Je nachdem, was eine Funktion repräsentiert, mag es auch denkbar sein, das sie die X-Achse niemals kreuzt, also auch keine Nullstelle diesbezüglich aufweist.

Warum kann es wünschenswert sein, die Nullstelle in Erfahrung zu bringen?

Die Berechnung von Nullstellen kann hilfreich dabei sein, um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu skizzieren und zu veranschaulichen. Das setzt natürlich voraus, dass es Nullstellen geben kann. Wenn eine Funktion bspw. etwas darstellt, wobei der Wert X niemals genau auf Null und auch nicht darunter (also in den Minusbereich) sinken kann, dann kann es natürlich auch keine Nullstellen geben. Ein Beispiel dafür wäre die Berechnung des Bruttoinlandsprodukts. Solange es noch Menschen gibt, die ein BIP interessiert und die dies nachrechnen, wird das BIP eines Landes niemals null sein. Und unter null kann es gar nicht sinken, da es keine negative Produktivität gibt. Denn es gibt einfach kein Land, in dem rein gar nichts (geschweige denn „weniger als nichts“) produziert wird. Und ein BIP von Null wäre eigentlich nur denkbar, wenn in einem Land alle Personen Selbstversorger sind, keinerlei Gewerbe oder Industrie haben und direkten Tauschhandel betreiben. Doch selbst ein solches Land hätte streng genommen noch ein positives BIP – es wäre nur unmöglich zu beziffern, weil ohne gemeinsame Währung die Grundlage dazu fehlen würde.

Kurzum: Damit die Berechnung von Nullstellen bzw. die Überprüfung nach Nullstellen Sinn machen kann, müssen Sie es mit einer logischen Konstellation zu tun haben, innerhalb der Null- bzw. Negativwerte denkbar sind und die durch die X-Achse repräsentiert werden.

Nullstellen in linearen Funktionen

Lineare Funktionen können wie gesagt maximal eine Nullstelle haben. Diese zu berechnen ist relativ einfach. Die allgemeine Formel zu diesem Zweck lautet:

     f(x) = m · x + t

Um die Nullstelle der Funktion f zu berechnen, suchen Sie den x-Wert für f(x) = 0 . Dazu setzen Sie die Funktion auf 0 und lösen die Gleichung nach x auf. Allerdings sollten Sie bei linearen Funktionen eher selten darauf angewiesen sein. Wenn genügend Variablen bekannt sind, lässt dich der Graph auch einfach zeichnen und es wird auf diesem selbst geschaut, ob und wo die nun verbildlichte Funktion die X-Achse schneidet. Wenn ja, müssen Sie es nur noch ablesen und kennen dann den genauen Nullpunkt.